Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

Vorwort 1 Einordnung und Grundlagen Übersicht 1.1 Einordnung 1.2 Mengen 1.2.1 Operationen mit Mengen 1.2.2 Aussagen und Aussageformen 1.3 Terme und Gleichungen 1.3.1 Terme und Termumformungen 1.3.2 Gleichungen und Ungleichungen 1.3.3 Gleichungssysteme 2 Das Funktionskonzept Übersicht 2.1 Funktionen und Abbildungen 2.2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild 2.3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen 2.3.1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem 2.3.2 Monotonieeigenschaften von Funktionen 2.3.3 Krümmung von Funktionen 2.4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen 2.5 Exkurs: Relationen Zusammenfassung 3 Lineare Funktionen Übersicht 3.1 Darstellungsformen linearer Funktionen 3.1.1 Normalform linearer Funktionen 3.1.2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen 3.1.3 Koordinatenform linearer Funktionen 3.2 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion 3.2.1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion 3.2.2 Die Normale einer linearen Funktion 3.3 Schnittpunkte linearer Funktionen 3.4 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen Zusammenfassung 4 Quadratische Funktionen Übersicht 4.1 Normalform quadratischer Funktionen 4.2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen 4.3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen 4.4 Linearform quadratischer Funktionen 4.5 Umkehrung quadratischer Funktionen 4.6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen 4.6.1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion 4.6.2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen 4.6.3 Kleinste-Quadrate-Methode Zusammenfassung 5 Rationale Funktionen Übersicht 5.1 Potenzen und Monome 5.2 Polynome und ganz-rationale Funktionen 5.3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision 5.4 Nullstellen von Polynomen 5.5 Interpolation durch Polynome 5.6 Gebrochen-rationale Funktionen Zusammenfassung 6 Spezielle Funktionen Übersicht 6.1 Exponentialfunktionen 6.1.1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion 6.1.2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion 6.1.3 Die Eulersche Exponentialfunktion 6.2 Logarithmusfunktionen 6.2.1 Logarithmus 6.2.2 Produktlogarithmus 6.3 Potenzfunktionen 6.4 Trigonometrische Funktionen 6.4.1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen 6.4.2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen 6.4.3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen 6.5 Stückweise definierte Funktionen 6.5.1 Die Betragsfunktion 6.5.2 Exkurs: Die Indikatorfunktion Zusammenfassung 7 Folgen und Reihen Übersicht 7.1 Folgen in der Ökonomie 7.1.1 Explizite und implizite Folgen 7.1.2 Summenfolgen 7.2 Konvergenz von Folgen 7.2.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen 7.2.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen 7.2.3 Konvergenznachweis 7.3 Unendliche Reihen 7.3.1 Konvergenznachweis für Reihen 7.3.2 Potenzreihen 7.3.3 Exkurs: Erzeugende Funktionen 7.4 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen 7.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 7.5.1 Zinseszinsrechnung 7.5.2 Rentenrechnung 7.5.3 Annuitätenrechnung 7.5.4 Barwert und Endwert 7.5.5 Kapitalwert Zusammenfassung 8 Differentialrechnung in einer Variablen 8.1 Funktionsgrenzwerte 8.1.1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten 8.1.2 Einseitige Funktionsgrenzwerte 8.1.3 Bestimmung von Funktionsgrenzwerten 8.1.4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte 8.1.5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen 8.1.6 Asymptoten von Funktionen 8.2 Stetige Funktionen 8.3 Differenzierbare Funktionen 8.3.1 Tangenten an Funktionsgraphen 8.3.2 Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen 8.3.3 Die Ableitungsfunktion 8.3.4 Ableitung und Linearisierung 8.3.5 Mittelwertsatz 8.3.6 Ableitungen höherer Ordnung 8.4 Ableitungsregeln 8.4.1 Faktorregel 8.4.2 Summenregel 8.4.3 Produktregel 8.4.4 Quotientenregel 8.4.5 Kettenregel 8.4.6 Ableitung von Potenzreihen 8.5 Ableitung und Funktionseigenschaften 8.5.1 Ableitung erster Ordnung und Nullstellen 8.5.2 Ableitung erster Ordnung und Monotonieverhalten 8.5.3 Ableitung erster Ordnung und Regel von de l'Hospital 8.5.4 Ableitungen erster Ordnung und Bedingungen für Extrema 8.5.5 Ableitungen erster und zweiter Ordnung und lokale Extrema 8.5.6 Ableitung zweiter Ordnung und Krümmungsverhalten 8.5.7 Kurvendiskussionen und Funktionssteckbriefe 8.6 Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung 8.6.1 Optimaler Preis 8.6.2 Gewinnmaximierung 8.6.3 Elastizitäten 8.6.4 Marginalanalyse 8.6.5 Kostenminimierung Zusammenfassung 9 Integralrechnung 9.1 Flächenintegrale und Stammfunktionen 9.1.1 Stammfunktion 9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 9.1.3 Flächenintegrale bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel 9.2 Numerische Berechnung von Flächenintegralen 9.2.1 Numerische Integration mit der Trapezregel 9.2.2 Numerische Integration mit der Simpson-Regel 9.2.3 Exkurs: Das Lebesgue-Integral 9.3 Integrationsregeln 9.3.1 Faktorregel und Summenregel 9.3.2 Partielle Integration 9.3.3 Substitutionsregel 9.4 Uneigentliche Integrale 9.5 Exkurs: Konsumentenrente und Produzentenrente Zusammenfassung 10 Lineare Gleichungssysteme Übersicht 10.1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen 10.2 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren 10.2.1 Zeilenumformungen eines LGS 10.2.2 Die Staffelform eines LGS 10.2.3 Die Zeilenstufenform eines LGS Zusammenfassung 11 Lineare Optimierung Übersicht 11.1 Probleme der linearen Optimierung 11.1.1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen 11.1.2 Transportprobleme 11.1.3 Zuordnungsprobleme 11.2 Standardform eines LOP 11.3 Simplex-Algorithmus 11.3.1 Beispiel mit einer freien Variable 11.3.2 Simplex-Tableau 11.3.3 Basiswechsel mit einer freien Variablen 11.3.4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen 11.3.5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens 11.3.6 Diskussion des Verfahrens 11.4 Zweiphasenmethode Zusammenfassung 12 Vektoren Übersicht 12.1 Vektoren und Operationen mit Vektoren 12.1.1 Elementare Operationen mit Vektoren 12.1.2 Vektorräume 12.2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen 12.3 Untervektorraum und Basis 12.3.1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem 12.3.2 Gewinnung einer Basis zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 12.4 Vektorgeometrie 12.5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode Zusammenfassung 13 Matrizen Übersicht 13.1 Matrix-Vektor-Verflechtungen 13.2 Matrix-Matrix-Verflechtungen 13.3 Quadratische Matrizen 13.4 Determinanten 13.4.1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen 13.4.2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten 13.4.3 Strategien zur Berechnung von Determinanten 13.4.4 Anwendungen der Determinante 13.5 Eigenwerte und Eigenvektoren 13.5.1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren 13.5.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren 13.5.3 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen 13.6 Definitheit von Matrizen 13.6.1 Definitheit 13.6.2 Definitheit unter Nebenbedingungen 13.7 Exkurs: Anwendungen der Matrizenrechnung 13.7.1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle 13.7.2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten Zusammenfassung 14 Differentialrechnung in mehreren Variablen Übersicht 14.1 Funktionen mehrerer Variablen 14.1.1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen 14.1.2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen 14.1.3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen 14.1.4 Grafische Darstellung 14.2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 14.2.1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 14.2.2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen 14.2.3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen 14.2.4 Homogene Funktionen in der Ökonomie 14.3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen 14.3.1 Die partielle Ableitung 14.3.2 Das Differential 14.3.3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen 14.4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials 14.4.1 Richtungsableitung 14.4.2 Elastizitäten 14.4.3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen 14.5 Ableitungen zweiter Ordnung 14.5.1 Die Hesse-Matrix 14.5.2 Krümmung impliziter Funktionen 14.5.3 Konvexe Funktionen 14.6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen 14.6.1 Volumenintegrale 14.6.2 Integrationsregeln Zusammenfassung 15 Optimierungsaufgaben Übersicht 15.1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen 15.1.1 Bestimmung kritischer Punkte 15.1.2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema 15.1.3 Optimierung konvexer Funktionen 15.1.4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren 15.1.5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren 15.2 Optimierung unter Nebenbedingungen 15.2.1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform 15.2.2 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen 15.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema 15.3.1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen 15.3.2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich 15.3.3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen 15.4 Komparative Statik 15.4.1 Ein Verbrauchsproblem 15.4.2 Das Envelope-Theorem 15.4.3 Ein Kostenproblem 15.4.4 Das Theorem impliziter Funktionen Zusammenfassung Übungsklausuren Klausur 1 Klausur 2 Klausur 3 Klausur 4 Klausur 5 Abbildungen Tabellen Symbole und Abkürzungen Das griechische Alphabet Literatur Index